توزيع كوشي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع كوشي توزيع احتمالي مستمر سمي باسم الرياضي الفرنسي أوغستين لوي كوشي ويعرف في الأوساط الفيزيائية باسم توزيع لورنتز.[1][2][3]

توزيع كوشي

دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	${\displaystyle \mu \,}$ موقع (حقيقي) ${\displaystyle b>0\,}$ (حقيقي)
الدعم	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!}$
د۔ك۔ح۔	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
د۔ت۔ت	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!}$
المتوسط الحسابي	لا يوجد
الوسيط الحسابي	${\displaystyle x_{0}\!}$
المنوال	${\displaystyle x_{0}\!}$
التباين	لا يوجد
التجانف	لا يوجد
التفرطح	لا يوجد
الاعتلاج	${\displaystyle \log(\gamma )\,+\,\log(4\,\pi )\!}$
د۔م۔ع	لا يوجد
الدالة المميزة	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

الخواص

دالة الكثافة

دالة كثافته الخاصة بتوزيع كوشي تعطى بالشكل التالي:

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

أما بالنسبة لتوزيع كوشي القياسي حيث ${\displaystyle x_{0}=0\,\!}$ و ${\displaystyle \gamma =1\,\!}$ فتكون دالة الكثافة كالتالي:

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}$

أما في الفيزياء. فإن دالة لورنتز تأخذ الصيغة التالية:

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={I}\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$

انظر معامل لورنتز.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع كوشي تعطى بالشكل التالي:

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$

مراجع

1. E. Hecht (1987). Optics (الطبعة 2nd). أديسون-ويسلي . صفحة 603. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
2. Ferguson, Thomas S. (1978). "Maximum Likelihood Estimates of the Parameters of the Cauchy Distribution for Samples of Size 3 and 4". Journal of the American Statistical Association. 73 (361): 211. doi:10.1080/01621459.1978.10480031. JSTOR 2286549. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
3. Illustration of instability of sample means نسخة محفوظة 24 مارس 2017 على موقع واي باك مشين.

• بوابة رياضيات
• بوابة إحصاء

في كومنز صور وملفات عن: توزيع كوشي