قاطع (دالة)

في حساب المثلثات والتحليل الرياضي، دالة قاطع الزاوية (بالإنجليزية: Secant)‏، سميّت سابقًا بقُطْر الظِّل، هي إحدى الدوال المثلثية التي تتبع قيمة زاوية، يرمز له بـ ${\displaystyle {\sec(x)}}$، ويمثل القاطع مقلوب قيمة جيب التمام أي ${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$. [2]أي أنه إذا كانت لدينا زاوية ضمن مثلث قائم فإن قاطع هذه الزاوية يساوي نسبة طول الوتر إلى الضلع المجاور للزاوية.

لمعانٍ أخرى، انظر قاطع (توضيح).

القاطع
تمثيل دالة القاطع في جملة الإحداثيات الديكارتيّة
ترميز	${\displaystyle {\sec(x)}}$
تعريف الدالة	${\displaystyle \sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}}$
دالة عكسية	${\displaystyle {\operatorname {arcsec}(x)}}$
مشتق الدالة	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {sin} \,x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x}$$ [1]
مشتق عكسي (تكامل)	${\displaystyle {\begin{aligned}{\ln |\sec(x)+\tan(x)|}\\=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\end{aligned}}}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	زوجية
مجال الدالة	${\displaystyle \mathbb {R} -\left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}}$
المجال المقابل	${\displaystyle ]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [}$
دورة الدالة	2π
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	1
القيمة/النهاية عند ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$	على اليمين: -∞ على اليسار: +∞
القيمة/النهاية عند ${\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$	على اليمين: +∞ على اليسار: -∞
خطوط مقاربة	${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+k\pi }$
نقاط حرجة	${\displaystyle k\pi }$
ملاحظات	${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

إن القاطع هو دالة مثلثية فرعية نسبية إلى كون الدوال الرئيسية المعروفة هي الجيب وجيب التمام والظل.

يمكن التعبير عن قاطع الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle E_{n}}$ هو عدد أويلر و ${\displaystyle U_{n}}$ هو عدد Up/down.

اشتقاق

مشتق الدالة هو:[1]

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin \,x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin \,x}{\cos x}}=\sec x\cdot \tan x.}$$

تكامل

تكامل الدالة لها ثلاثة أشكال متكافئة:

${\displaystyle \int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}}$

مراجع

1. Derivative Trig Functions نسخة محفوظة 8 يونيو 2019 على موقع واي باك مشين.
2. Wolfram MathWorld - Secant نسخة محفوظة 23 ديسمبر 2019 على موقع واي باك مشين.

انظر أيضًا

• قاطع التمام
• ظل التمام
• جيب التمام
• جيب الزاوية
• ظل الزاوية

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي
• بوابة هندسة رياضية

قاطع في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز