قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

هذه قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية.

الدوال التي تحتوي معكوس الجا

أخذاً بالعلم أن معكوس الجا (جا⁻¹) = ${\displaystyle arcsin}$

${\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \arcsin {\frac {x}{a}}\ dx=x\arcsin {\frac {x}{a}}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x\arcsin {\frac {x}{a}}\ dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\arcsin x\ dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\arcsin x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\arcsin x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\arcsin x\ dx\right)}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\arcsin x\ dx=\left(x^{n^{2}+1}\arccos x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{4}}}-nx^{n^{2}-1}\arccos x}{n^{2}-1}}+n\int x^{n^{2}-2}\arccos x\ dx\right)}$

الدوال التي تحتوي معكوس الجتا

أخذاً بالعلم أن معكوس الجتا (جتا⁻¹) = ${\displaystyle arccos}$

${\displaystyle \int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int \arccos {\frac {x}{a}}\ dx=x\arccos {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x\arccos {\frac {x}{a}}\ dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C}$

الدوال التي تحتوي معكوس الظا

أخذاً بالعلم أن معكوس الظا (ظا⁻¹) = ${\displaystyle arctan}$

${\displaystyle \int \arctan x\,dx=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

${\displaystyle \int \arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx=x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {a}{2}}\ln(1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}})+C}$

${\displaystyle \int x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {(a^{2}+x^{2})\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {x^{3}}{3}}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {ax^{2}}{6}}+{\frac {a^{3}}{6}}\ln({a^{2}+x^{2}})+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq -1}$

الدوال التي تحتوي معكوس ظتا

أخذاً بالعلم أن معكوس الظتا (ظتا⁻¹) = ${\displaystyle arccot}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C}$

${\displaystyle \int x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {a^{2}+x^{2}}{2}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax^{2}}{6}}-{\frac {a^{3}}{6}}\ln(a^{2}+x^{2})+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq -1}$

الدوال التي تحتوي معكوس قا

أخذاً بالعلم أن معكوس القا (قا⁻¹) = ${\displaystyle arcsec}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a|x|}}\ln \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C}$

${\displaystyle \int x\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\ dx\right)\right]\right)}$

الدوال التي تحتوي معكوس قتا

أخذاً بالعلم أن معكوس القتا (قتا⁻¹) = ${\displaystyle arccsc}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} x\,dx=x\operatorname {arccsc} x+\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}+{a}\ln {({\frac {x}{a}}({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+1))}+C}$

${\displaystyle \int x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+C}$

• بوابة تحليل رياضي