قاعدة الضرب

في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق :

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

لهذا يمكن أن نقول :

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$

أو بترميز لايبنتز :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}(uv)=u{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} x}+v{\mathrm {d} u \over \mathrm {d} x}.}$

أمثلة

لنحسب تفاضل ${\displaystyle f(x)=\sin(x)\cos(x)}$. حسب قاعدة الضرب لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x)\cos(x){\big ]}&=\sin(x){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\cos(x){\big ]}+\cos(x){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x){\big ]}\\&=-\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\\&=1-2\sin ^{2}(x).\end{aligned}}}$

برهان

لتكن ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$، ونعتبر أن ${\displaystyle g'(x)}$ و${\displaystyle f'(x)}$ موجودين. لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}}=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)-f(x)]\cdot g(x+a)+f(x)\cdot [g(x+a)-g(x)]}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}}\cdot \lim _{a\to 0}g(x+a)+\lim _{a\to 0}f(x)\cdot \lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي

قاعدة الضرب في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز